[Sujet CRPE] 2008, groupement 1

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[Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar M@rion » Lundi 06 Juillet 2009, 16:13

Bonjour,

Je viens de faire un petit morceau de sujet et dont les réponses à certaines questions me paraissent assez subjectives, je voudrais avoir votre avis si c'est possible.

Il s'agit de l'exercice 1 de ce sujet :
http://media.education.gouv.fr/file/suj ... _26833.pdf.

question 2 : je répondrais au "toujours" que c'est le plus vaste ensemble, mais cela ne me semble pas être une démonstration mathématique

question 3 : là je dirais qu'un quotient ne peut pas toujours s'écrire sous la forme n divisé par le multiple de 2 exposant p et de 5 exposant q (désolée pour ce charabia)

question 4 : ici je ne sais pas trop comment on écrit la chose correctement
je voudrais dire que le nombre recherché s'exprime sous la forme du quotient d'un multiple de 5 par 3 et que n est compris entre 1 et l'infini des nombres entiers

question 5 : je justifie en donnant un exemple mais est-ce suffisant ?

merci
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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar rebouxo » Lundi 06 Juillet 2009, 18:05

Q2 : C'est quoi un nombre rationnel ?

Q3 et Q4 : Lis bien la question, il y a une remarque importante, que tu semble oublier.

Q5 : la question est : $a$ peut-il être un nombre premier ? Réponse oui, pour $r = 5$ par exemple.

Olivier
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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar M@rion » Jeudi 09 Juillet 2009, 11:16

Bonjour

Merci beaucoup, je revois tout cela à tête reposée cet après-midi.

A bientôt
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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar M@rion » Jeudi 09 Juillet 2009, 14:19

Pour la Q2 : un nombre rationnel est exprimable sous la forme d'un quotient entre deux entiers relatifs dont le second est non nul, et son écriture possède un développement décimal périodique. Petit problème, je n'arrive pas à justifier ma réponse à partir de cette définition. Dire que le nombre a est forcément rationnel quel que soit le nombre r -sauf si c'est l'inverse de 3/5, ce qui est impossible - car multiple d'un nombre rationnel, en l'occurence 3/5, me semble plus simple. Mais j'aimerais tout de même savoir justifier à partir de la définition. Spontanément, je serais tentée de répondre qu'il s'agit d'une commensuration entre deux grandeurs géométriques, donc plus probable que le quotient soit un rationnel ou un irrationnel, qu'un entier, ou un décimal. Mais ça ne justifie pas le développement à périodes.

Q3 et Q4 :
alors là ce que je fais me semble un peu compliqué, mais je me lance tout de même >

- pour que a soit un nombre décimal, il doit satisfaire à deux conditions :
1) que lui-même soit exprimable sous la forme d'une fraction telle que : $\frac{b}{5^m\times2^p}$
2) que r soit égal à $\frac{5\timesb}{3\times(2^m\times5^p)}$

- pour que ce soit un nombre entier, il ne faut plus de dénominateur, donc on multiplie 5b par ce dernier ?

pour la Q5 je donnais un exemple aussi, mais comment le prouver à partir d'une loi ?
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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar rebouxo » Jeudi 09 Juillet 2009, 20:26

M@rion a écrit:Pour la Q2 : un nombre rationnel est exprimable sous la forme d'un quotient entre deux entiers relatifs dont le second est non nul, et son écriture possède un développement décimal périodique.

J'aurais écris donc son écriture décimale est périodique. C'est une conséquence de la définition.
M@rion a écrit:Petit problème, je n'arrive pas à justifier ma réponse à partir de cette définition. Dire que le nombre a est forcément rationnel quel que soit le nombre r -sauf si c'est l'inverse de 3/5, ce qui est impossible - car multiple d'un nombre rationnel, en l'occurence 3/5, me semble plus simple. Mais j'aimerais tout de même savoir justifier à partir de la définition. Spontanément, je serais tentée de répondre qu'il s'agit d'une commensuration entre deux grandeurs géométriques, donc plus probable que le quotient soit un rationnel ou un irrationnel, qu'un entier, ou un décimal. Mais ça ne justifie pas le développement à périodes.

Un entier est un nombre rationnel. Un décimal aussi, les différentes catégories ne s'excluent pas toutes.
Je pense que tu n'as bien lu le texte, pourtant c'est en gras. $r$ est un entier donc $a$ est bien le quotient de deux nombres entiers $3r$ et $5$. Donc, c'est bien un rationnel, en utilisant la définition.

Cela répond-il à ta question ?
M@rion a écrit:
Q3 et Q4 :
alors là ce que je fais me semble un peu compliqué, mais je me lance tout de même >

- pour que a soit un nombre décimal, il doit satisfaire à deux conditions :
1) que lui-même soit exprimable sous la forme d'une fraction telle que : $\frac{b}{5^m\times2^p}$
2) que r soit égal à $\frac{5\timesb}{3\times(2^m\times5^p)}$

Pas lu le texte. On reprend en prenant, $r$ entier. Tu verras c'est plus simple.
M@rion a écrit:- pour que ce soit un nombre entier, il ne faut plus de dénominateur, donc on multiplie 5b par ce dernier ?

OK.
M@rion a écrit:
pour la Q5 je donnais un exemple aussi, mais comment le prouver à partir d'une loi ?


On ne te le demande pas. La question est bien $a$ peut-il être un nombre premier. Oui, il est possible que pour certaines valeurs de $r$ (par exemple $r = 5$, que $a$ soit un nombre premier. Toutes les questions de math ne sont pas issues de loi. J'aurais même tendance à dire que ce qui intéresse le matheux c'est les problèmes sans loi. Une fois que le problème à trouver sa solution, c'est beaucoup moins intéressant. Bon, je sais que les mathématiques scolaires ne reflètent pas toujours cette description, mais l'esprit du matheux est plus attiré par les problèmes que par les solutions.

Olivier

Attention à bien lire les questions et pas à en inventer d'autres. C'est bête comme remarque, mais ici c'est probablement ton problème.
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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar M@rion » Vendredi 10 Juillet 2009, 12:52

Bonjour,

Vous avez raison, j'ai complètement omis le fait que r était un entier, je l'ai traité comme une inconnue classique.

Merci ! Je vais tâcher d'être plus concentrée à l'avenir.
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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar M@rion » Vendredi 24 Juillet 2009, 09:08

Pour la dernière question de l'exercice 1, il faut dire que r est introuvable, car il faudrait qu'il soit à la fois multiple de 5 et divisible par 8, donc qu'il se termine par 0, et donc qu'il soit pair, or un nombre premier n'est jamais pair à part 2. C'est ça ?
Merci
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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar rebouxo » Vendredi 24 Juillet 2009, 09:28

M@rion a écrit:Pour la dernière question de l'exercice 1, il faut dire que r est introuvable, car il faudrait qu'il soit à la fois multiple de 5 et divisible par 8, donc qu'il se termine par 0, et donc qu'il soit pair, or un nombre premier n'est jamais pair à part 2. C'est ça ?
Merci


$r$ n'existe pas. OK. Par contre je ne comprends pas ton raisonnement et je rappelle $r$ est un nombre entier surtout.

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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar M@rion » Vendredi 24 Juillet 2009, 09:48

mon raisonnement :

on a 5b / 8 = r

il faudrait que b soit à la fois multiple de 5 et divisible par 8, donc qu'il se termine par 0, et donc qu'il soit pair car un nombre qui se termine par 0 est pair, or un nombre premier n'est jamais pair, sauf 2.
donc comme b ne peut pas être égal à 2, et que r ne peut à ce moment là s'écrire que sous la forme fractionnaire (je ne l'avais pas précisé parce que c'était évident pour moi :roll: ), le nombre r n'existe pas.

qu'est ce qui ne va pas ?
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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar rebouxo » Vendredi 24 Juillet 2009, 12:38

OK là je comprends, mais ce n'est pas ce que tu as écrit la première fois.
Il me semble que là encore, l'argument $r$ entier est plus rapide.

$r$ est entier, $b$ doit être premier, donc entier. Donc $r$ doit être un multiple de $5$. Donc, $b$ est alors pair. Donc non premier.

On réfléchis directement sur $r$ et non sur $b$. Cela me paraît plus clair.

Ici, il me parait important de préciser ce qui te sert dans la démonstration. Et ce qui te sert c'est que $r$ est un entier. Ton raisonnement ce casse la figure si tu utilise des fractions... Donc... En général, ce méfier des trucs évident dans les démonstrations...

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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar M@rion » Vendredi 24 Juillet 2009, 13:32

Merci. Votre méthode me semble plus claire.

En ce qui concerne ma réponse, il faut que je précise que la forme fractionnaire n'est pas recevable car r est un entier, ou c'est toute la démonstration qui est mauvaise ?
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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar rebouxo » Vendredi 24 Juillet 2009, 14:27

M@rion a écrit:

En ce qui concerne ma réponse, il faut que je précise que la forme fractionnaire n'est pas recevable car r est un entier,


Oui.

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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar M@rion » Vendredi 24 Juillet 2009, 15:42

Merci. Vous avez raison d'être exigeant, car ce sont des détails comme ceux-là qui font toute la différence au concours j'ai l'impression...
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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar M@rion » Samedi 01 Août 2009, 08:37

Bonjour,

Petite question : dans l'exercice 2 du même sujet, concernant la division euclidienne, faut-il comprendre que seul 17 reste inchangé ? Ou y-a-til une autre difficulté que je n'ai pas repérée ?

Merci
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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar rebouxo » Samedi 01 Août 2009, 10:54

Je ne comprends pas ta question.

Dans quelle question de cet exercice. Qu'as-tu répondu aux premières questions ?

Olivier
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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar M@rion » Samedi 01 Août 2009, 15:54

1)
Dans cette question, aucune division n’est à poser. Les réponses doivent être justifiées.
a. Sachant que 57 148 468 = 3 361 674 × 17 + 10, donner le quotient et le reste de la division
euclidienne de 57 148 468 par 17.
> si le diviseur est 17, alors le quotient est 3 361 674 et le reste 10

b. Sachant que 84 279 733 = 4 957 630 × 17 + 23, donner le quotient et le reste de la division
euclidienne de 84 279 733 par 17.
> ici le reste est plus grand que 17 donc ce n'est pas 23, et le quotient est :
84 279 733 = (4 957 630 + 1) x 17 + (23-17)
84 279 733 = 4 957 631 x 17 + 6

c. En déduire le quotient et le reste de la division euclidienne de 57 148 468 + 84 279 733 par
17, puis le quotient et le reste de la division euclidienne de 57 148 468 × 2 par 17.
> 57 148 468 + 84 279 733 = (3 361 674 + 4 957 631) x 17 + (10 + 6)
141 428 201 = 8 319 305 x 17 + 16

2)
Dans la division euclidienne d’un nombre a par 17, on note q le quotient et r le reste.
Dans la division euclidienne d’un nombre a’ par 17, on note q’ le quotient et r’ le reste.
Déterminer, en justifiant votre réponse, le quotient et le reste :
a. dans la division euclidienne de a + a' par 17.
> a + a' = (q + q') x 17 + (r + r')
b. dans la division euclidienne de 2a par 17.
> 2a = 2q x 17 + 2r
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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar M@rion » Samedi 01 Août 2009, 15:55

suite :

pour justifier je pensais utiliser la démonstration de la preuve par 9
qu'en pensez-vous ?

merci beaucoup
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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar rebouxo » Samedi 01 Août 2009, 22:04

Bon les réponses aux premières questions sont justes (pas assez expliquer à mon goût). Pas la dernière par contre... 2a et 2b.

Il est faux de dire que si $a = 17q + r$ et $a'=17q'+r'$, alors le quotient de $a+a'$ par $17$ n'est pas forcément $q+q'$ et le reste n'est pas $r+r'$. Contre-exemple : Prenons $a=30$ et $a'=32$. Alors, $a = 1 \times 17 +13$ et $a' = 1 \times 17 +15$.

$a+a' = (1+1) \times 17 +  13 + 15 = 2 \times 17 + 28 = 3 \times 17 +11$ !

Donc...

Quand aux justifications, c'est toujours la même : bien vérifier que l'on ait dans une division euclidienne, et pour vérifier cela, il faut et il suffit que le reste soit inférieur au diviseur.

La preuve par neuf, la mal nommée, n'est pas une preuve au sens mathématiques, c-à-d une démonstration d'une affirmation (ici qu'un nombre est divisible par 9, il faudra d'ailleurs que tu me dises pourquoi tu vas chercher la preuve par 9 ? Quel est le rapport avec le sujet :D, je te donne deux pistes de réflexion au niveau didactique, ci-dessous ). Si la preuve par 9, donne un résultat non concordant, alors la division est fausse. Par contre, si la preuve donne un résultat concordant, on ne peut pas affirmer que la division est juste. Si l'erreur est de 9, elle est indétectable par cette méthode.

Par contre, tu commets l'erreur (un contrat didactique bien fort, diraient les didacticiens) que ne voyant pas la bonne preuve ou croyant que celle-ci est trop simple, tu essaye de donner autre chose. L'arithmétique au CRPE est très souvent dans le cadre des programmes du primaire : on doit pouvoir résoudre cette partie avec les connaissances de l'école primaire (àmha). Or je suis persuadé que la division euclidienne est au programme de l'école élémentaire, par contre je ne crois pas que la preuve par neuf en fasse encore partie. Cela veut dire qu'il ne faut pas aller chercher trop compliquer. Et oui, ici c'est la même explication à chaque question. Par contre, on a changé de cadre entre les deux questions, ceci peut aussi expliquer cette volonté de chercher une autre explication. Mais c'est le but d'un concours, déstabiliser les candidats.

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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar M@rion » Dimanche 02 Août 2009, 07:41

Merci pour votre aide, vous apportez beaucoup aux gens sur ce forum, et pour ma part, je ne sais pas comment vous remercier :D
Bon, moi il faut que je reprenne les maths sérieusement, j'ai l'impression d'avoir tout oublié depuis mes dernières révisions, c'est lamentable... :cry: Semaine maths en perspective !
Je reprends l'exercice à tête reposée, et pour l'instant j'éteins ce pc car il y a un gros orage :mrgreen:

Bonne journée, et merci encore
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Re: [Sujet CRPE] 2008, groupement 1

Messagepar rebouxo » Dimanche 02 Août 2009, 11:03

M@rion a écrit:Merci pour votre aide, vous apportez beaucoup aux gens sur ce forum, et pour ma part, je ne sais pas comment vous remercier :D

Un don :mrgreen:
M@rion a écrit:Bon, moi il faut que je reprenne les maths sérieusement, j'ai l'impression d'avoir tout oublié depuis mes dernières révisions, c'est lamentable... :cry: Semaine maths en perspective !
Je reprends l'exercice à tête reposée, et pour l'instant j'éteins ce pc car il y a un gros orage :mrgreen:

Bonne journée, et merci encore


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