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par **paspythagore** » Lundi 02 Avril 2012, 19:06

Bonjour.

Je ne comprends la correction de cet exercice où l'on cherche à montrer qu'il n'existe aucun voisinage d'un point particulier d'une surface qui ne soit compris dans cette surface, c'est à dire que cette surface n'est pas régulière.

Ennoncé
Soient et deux plans de $\R^3$ non-parallèles. Montrer que $S=P_1\cap P_2$ n'est pas une surface régulière.

Correction
Supposons que soit une surface régulière. Soit $p \in P_1 \cap P_2$ et soit $\varphi : U_0 \to U$ un
paramétrage d’un voisinage de en ; nous pouvons supposer que est un disque ouvert
centré en $\varphi^{−1}(p)$ et que (et donc et sont des sous–espaces vectoriels de ). (1)

Soient $\{p_1^{(n)}\}\subset P_1$ et $\{p_2^{(n)}\}\subset P_2$ des suites qui convergent vers . (2)

Alors :
$q_n=\{\varphi^{-1}(p_1^{(n)}\}\text{ et }r_n=\varphi^{-1}(p_2^{(n)})$

convergent vers $\varphi^{-1}(p)$ . (3)

Il est facile de voir que

$\partial_u\varphi(q_n), \partial_v\varphi(q_n)\in P_1\text{ et } \partial_u\varphi(r_n), \partial_v\varphi(r_n)\in P_2 (4)$

Il suit que $\partial_u\varphi(\varphi^{-1}(p)), \partial_v\varphi(\varphi^{-1}(p))\in P_1\text{ et } \partial_u\varphi(\varphi^{-1}(p)), \partial_v\varphi(\varphi^{-1}(p))\in P_2$ (5)

Nous obtenons alors que $D\varphi(\varphi^{-1}(p))\cdot\R^2^\subseteq P_1\cap P_2$ , ce qui contredit $dim_\R D\varphi(\varphi^{-1}(p))\cdot\R^2=2$ .(6)

DefinitionUn sous-ensemble $S\subseteq \R^3$ est une surface régulière s'il existe pour chaque point $p\in S$ , un homéomorphisme $\varphi:U_0\to U$ entre un ouvert $U_0\to\R^2$ et un voisinage (ouvert) $U\subseteq Q$ de tel que :
1 - L'application $\varphi :U_0\subseteq\R^3$ est différentiable.
2 - La matrice Jacobienne de $\varphi$ a rang en chaque point de .
Nous appelerons $\varphi:U_0\to U$ un paramétrage local de .