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par MC » Samedi 28 Novembre 2009, 17:31

la droite vectorielle engendrée par les points (1,0) et (0,1) et la droite passant par le point (1,0) et dont un vecteur directeur est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ .

La confusion continue de plus belle. il s'agit d'une droite affine, pas vectorielle. Cette droite affine (la droite passant par les points $P=(1,0)$

et

) a pour direction la droite vectorielle $D$

engendrée par le vecteur $(1,-1)$

, effectivement. La direction c'est $D$

, la doite affine c'est $P+D$

. Tu peux peut-être reprendre la question avec trois points dans $\R^3$ , puis les matrices de permutations dans $\mathcal{M}_3(\R)$ .

est en fait une droite affine. Pour en trouver une direction, on doit écrire E= un point + un sous-espace vectoriel. Mais on se rend compte que l'on peut caractériser la droite affine en question (i.e. E) par un point (par exemple M) et un vecteur directeur (par exemple le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ ). On a donc E=M+D où $D=vect(\{\vec{u}\})$ . La direction est $D$

.

Maintenant pour le sous-espace affine E engendré par les points $M=(1,0,0)$

,

et

c'est un plan affine. Il est caractérisé par un point (par exemple M) et deux vecteurs non colinéaires (par exemple $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ , qui sont bien non colinéaires car non proportionnels). Alors on a $E=M+P$

où $P=vect(\{\vec{u},\vec{v}\})$ . La direction est $P$

.

par MC » Samedi 28 Novembre 2009, 22:46

Entre

et

Vérifie les vecteurs engendrant la direction du plan.

par **Kazik** » Samedi 28 Novembre 2009, 23:26

C'est plutôt $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ ! Ce coup-ci, je crois que c'est correct!
Par contre pour le cas des matrices de permutations, je ne vois pas comment m'y prendre car j'ai aucun dessin

par MC » Dimanche 29 Novembre 2009, 00:09

Tu remarqueras peut-être, pour le plan, qu'on peut prendre comme vecteurs qui engendrent la direction les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MQ}$ . Pour les matrices de permutation de taille trois, ton espace affine est engendré par 6 points. Comment fabriquer des vecteurs engendrant la direction?

par **Kazik** » Dimanche 29 Novembre 2009, 00:15

Ce que je ne saisi pas, c'est pourquoi par exemple $\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$ représente un point ?

Sinon, "intuitivement", je dirais qu'en faisant la différence de deux matrices on obtient un vecteur :?:

Et donc en reprenant les notations ci-dessus on peut prendre :
$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}$ , $\vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1&1&0\\1&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ , $\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}$ .

et donc la direction serait $D = vect (\{\vec{A_1A_2},\vec{A_1A_3},\vec{A_1A_4}\})$ ?

par MC » Dimanche 29 Novembre 2009, 08:47

J'appelle quelquefois point un élément d'un espace affine, et vecteur un élément d'un espace vectoriel. Ca peut être commode de laisser l'intuition géométrique nous guider. Sinon, pourquoi te limites-tu aux quatre "points" $A_1$

,

,

,

?

par **Kazik** » Dimanche 29 Novembre 2009, 13:44

Je ne sais pas!
Dans $\mathbb{R}^3$ , un sous-espace affine a pour direction un sous-espace vectoriel de dimension 2, un plan.
Est-ce que dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ , un sous-espace affine a pour direction un sous-espace vectoriel de dimension 3 ? Ou 8 ?

par **Kazik** » Dimanche 29 Novembre 2009, 15:43

Une question qui me vient à l'esprit également :
j'ai vu les deux définitions suivantes pour une matrice de permutation : c'est la matrice de coefficient $m_{ij} = 1$ si $\sigma(i)=j$ et 0 sinon et c'est la matrice $(\delta_{i,\sigma(j)})_{i,j}$ .

Comment passe-t-on de l'un à l'autre ? Car pour la seconde c'est $\delta_{i,\sigma(j)} = 1$ si $\sigma(j)=i$ et 0 sinon, non ?

par MC » Dimanche 29 Novembre 2009, 16:51

Dans \mathbb{R}^3, un sous-espace affine a pour direction un sous-espace vectoriel de dimension 2, un plan.

Bouhouhou! Les droites dans $\R^3$ , ça n'existe pas?
Quelle est la dimension de $\mathcal{M}_3(\R)$ ? Quelles sont les dimensions possibles pour ses sous-espaces vectoriels? Quelles sont les dimensions possibles pour ses sous-espaces affines?

par **Kazik** » Dimanche 29 Novembre 2009, 17:22

La dimension de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ est 9. Donc les sous-espaces vectoriels peuvent être de dimension 0,1,...,9. En est-il de même pour les sous-espaces affines ?
Je sais que la dimension du sous-espace affine est la dimension de sa direction, c'est-à-dire de l'espace vectoriel qui lui est associé. Donc je serais tenté de dire que les sous-espaces affines de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ peuvent être de dimension 0,1,...,9.

Mais je craint de dire encore des bêtises :oops:

par **Kazik** » Samedi 05 Décembre 2009, 00:22

Plus de nouvelles de MC

Je saisi de mieux en mieux je pense, mais plus j'avance et plus j'ai des questions! $S_3$

est isomorphe à $P_3$

où $P_{n} = \{M_{\sigma}\,,\,\sigma\in S_n\}$ l'ensemble des matrices de permutations. Mais on sait que $S_3$

est engendré par les transpositions $(1,2)$

,

et

. Donc finalement, je prendrai plutôt les matrices :
$\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$

et ça de manière intuitive! Car je me suis dis que si les transpositions $(1,2)$

,

et

engendrent $S_3$

alors les matrices associées à ces transpositions engendrent $P_3$

: est-ce vrai ?

Bref, notant respectivement $A_1$

,

et

les "points" associés à ces permutations, je forment les vecteurs $\vec{A_1A_2}$ , $\vec{A_1A_3}$ et $\vec{A_2A_3}$ :
$\begin{pmatrix}0&1&-1\\1&-1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&1&-1\\1&-1&0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&1&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}$

et j'espère bien que j'ai les bons vecteurs maintenant pour engendrer l'espace vectoriel associé à mon espace affine!
Qu'en pensez-vous ?

Pour aller plus loin, j'ai vu le pdf suivant http://mpej.unige.ch/~kunz/lectures/groupes06.pdf qui traite sur les représentations, linéaires fidèles d'un groupe. Ils reprennent exactement le même exemple avec $S_3$

mais j'ai du mal parfois à faire le lien. En gros, les 6 matrices que l'on a trouver définissent une représentation linéaire du groupe $S_3$

mais qui est réductible.

par MC » Samedi 12 Décembre 2009, 18:31

1) L'engendrement du groupe $S_3$

ou

n'a rien à voir avec l'engendrement de l'espace affine. Il ne faut pas confondre.

2) Pour trouver la direction du sous-espace affine engendré par trois points $A_1$

,

et

, ce n'est pas très astucieux de prendre les trois vecteurs $\overrightarrow{A_1A_2}$ , $\overrightarrow{A_1A_3}$ et $\overrightarrow{A_2A_3}$ . Tu peux remarquer qu'il y a une relation de dépendance linéaire assez évidente entre ces trois vecteurs. Et pour trouver la direction du sous-espace affine engendré par six points $A_1$

jusqu'à

, quelle famille de vecteurs suffit-il de prendre?

par **Kazik** » Samedi 12 Décembre 2009, 19:14

Ah mince! C'était trop beau pour être vrai!
Pour la deuxième question, je n'ai vraiment aucune idée. Si j'ai une famille $\rm\displaystyle\{A_1,\cdots,A_6\}$ , je peux former en tout 15 vecteurs il me semble. Lesquels prendre ? Tous ? Y'en a certain qui vont s'exprimer en fonction des autres non ?

par MC » Samedi 12 Décembre 2009, 21:48

je n'ai vraiment aucune idée.

Je trouve que tu ne fais pas beaucoup d'efforts. Par exemple, tu n'essaies pas de bien comprendre ce qui se passe pour un plan affine $P$

engendré par trois points $A_1$

,

et

. On choisit par exemple $A_1$

comme origine de ce plan affine, et $P= A_1 + \overrightarrow{P}$ où $\overrightarrow{P}$ est la direction de $P$

. Autrement dit $\overrightarrow{P}$ est le sous-espace des vecteurs $\overrightarrow{A_1M}$ pour $M\in P$ et il est engendré par $\overrightarrow{A_1A_2}$ et $\overrightarrow{A_1A_3}$ . Le choix de $A_1$

n'a pas d'importance, on aurait pu choisir un autre $A_i$

. Si tu as des problèmes avec ça, revois tes cours et/ou les manuels donnés en référence de tes cours.
Si finalement tu arrives à comprendre ça, tu devrais avoir des idées pour te débrouiller avec 6 points.

par **Kazik** » Samedi 12 Décembre 2009, 22:02

Et pourtant, j'essaye vraiment de faire des efforts, de faire des dessins

Ton exemple du plan affine me donne des idées.
Finalement, on va se donner une origine $\rm\displaystyle A_1$ et considérer l'espace vectoriel engendré par la famille $\rm\displaystyle\{\overrightarrow{A_1A_2},\cdots\overrightarrow{A_1A_6}\}$ ?

par **Kazik** » Dimanche 31 Janvier 2010, 15:09

Quelqu'un peut-il m'aider ?

par MC » Lundi 01 Février 2010, 15:19

Kazik a écrit:Finalement, on va se donner une origine $\rm\displaystyle A_1$ et considérer l'espace vectoriel engendré par la famille $\rm\displaystyle\{\overrightarrow{A_1A_2},\cdots\overrightarrow{A_1A_6}\}$ ?

Qu'as-tu fait dans cette direction?

par **Tonn83** » Lundi 01 Février 2010, 17:16

Kazik a écrit:Donc les sous-espaces vectoriels peuvent être de dimension 0,1,...,9. En est-il de même pour les sous-espaces affines ?

Cette question prouve que tu ne comprends pas réellement quelles structures tu es en train de manipuler. Un sous-espace vectoriel est un sous-espace affine. Etant donné un espace vectoriel E, les sous-espaces affines sont exactement les "translatés" des sous-espaces vectoriels (autrement dit, ils s'écrivent sous la forme v+F où F est un sev). Quelle est la dimension du sous-espace affine engendré par un unique vecteur ? Quelle est la dimension du sous-espace affine engendré par deux vecteurs distincts ? Et par trois vecteurs distincts ? Attention de ne pas tomber dans le panneau.

Alors, quelle est la dimension du sous-espace affine engendré pas 6 vecteurs distincts ? Est-ce <math>6!</math>, 6, 5, ou autre chose ? Et si on revient à la question que tu posais ? Que te faut-il vérifier ? Quel travail te reste-t-il encore ?

Kazik a écrit:Quelqu'un peut-il m'aider ?

L'aide que MC t'a apporté est gratuite, et pourrait t'être réellement profitable. Mais le travail doit venir de toi, et de toi seul. Redouble donc d'efforts, contente-toi de consulter des livres qui sont à ta portée, et si tu es arrêté par des mots que tu ne comprends pas, fais l'effort d'en rechercher le sens, sans attendre que quelqu'un ne vienne t'apporter la définition. Au final, celui qui pourra t'aider au mieux est ... toi-même ! Suite à ces échanges, comprends-tu déjà mieux les notions de base en algèbre linéaire ?

par **Kazik** » Mardi 02 Février 2010, 00:50

On veut décrire le sous-espace affine engendré par la partie $\rm\displaystyle X=\{A_1,\cdots,A_6\}$ . C'est :
$\rm\displaystyle V(X)=A_1+ev(\{\overrightarrow{A_iA_j}\,:\,A_i\in X\,,\,A_j\in X\})$ , ( $\rm\displaystyle A_1$ ou n'importe quel autre point de $\rm\displaystyle X$ )

Il faut donc "caractériser" $\rm\displaystyle ev(\{\overrightarrow{A_iA_j}\,:\,A_i\in X\,,\,A_j\in X\})$ (c'est-à-dire l'espace vectoriel engendrée par les $\rm\displaystyle \overrightarrow{A_iA_j}$ ). Je voudrais essayer d'en trouver une base. Suis-je sur la bonne piste ?

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