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de **paspythagore** » Dimanche 10 Janvier 2010, 20:05

Une fois de plus, merci pour ton aide et tes encouragements.

J'ai déjà essayé mais je n'arrive pas à majorer la série de terme général $n^2 u_n$

par une série convergente:

$n^2 2^{-\sqrt{n}} = \dfrac{n^2^}{2^\sqrt{n}} > \dfrac{n^2}{2^n}$

Et je tourne en rond.

J'avais essayé aussi mais comme je n'ai pas pu conclure, j'ai du faire une grosse erreur de calcul.

$n^2 2^{-\sqrt{n}} = e^{2 ln n} e^{-\sqrt{n}ln2} = e^{2 ln n -\sqrt{n}ln2}}$

Je ne sais pas justifier ce qui suit :

$2 ln n -\sqrt{n}ln2$ tend vers $-\infty$ quand n tend vers $+\infty$ et $n^2 2^{-\sqrt{n}}$ vers $0$

.

de OG » Dimanche 10 Janvier 2010, 22:41

C'est une histoire de croissance comparée. Si $\alpha>0$ alors $(\ln x)/x^\alpha$ tend
vers 0 quand $x$

tend vers l'infini.
C'est à connaitre impérativement, au voisinage de 0 aussi et avec les exponentielles.

O.G.

de **paspythagore** » Dimanche 10 Janvier 2010, 23:01

Oui, mais est ce qu'il faut diviser $2 ln n -\sqrt{n}ln2$ par quelque chose ou trouver une serie supérieure qui converge ?

de OG » Dimanche 10 Janvier 2010, 23:09

Je rapelle que l'indication consiste à démontrer que $\lim_{n\rightarrow+\infty} n^2 u_n=0$ , ce
qui entraîne que la série converge.
Avec la forme exponentielle, puis les histoires de croissance comparée tu devrais aboutir.

O.G.