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par **zariski63** » Lundi 05 Mars 2012, 12:23

Bonjour. Ma preuve est-elle correcte svp ?

Soit $\lambda \in [0;+\infty [/ \{1\}\;,\; n \in \mathbb{N}^{\ast}$ et $a_{0},a_{1},\ldots , a_{n} \in \mathbb{R}$ tels que $\forall i \in [\![1,n]\!] \;,\; a_{i}-\lambda a_{i-1} \leqslant 0$ .
Montrer que : $\forall i \in [\![1,n]\!] \;,\; a_{i}\leqslant \lambda^{i} a_{0}$ .
Je fais une récurrence finie :

- Si $i=1$

alors $a_{1}-\lambda a_{0}\leqslant0$ ou encore $a_{1}\leqslant \lambda^{1} a_{0}$ . La propriété est vraie pour $i=1$

.

- Supposons que $\forall i \in [\![1,n-1]\!] \;,\; a_{i}\leqslant \lambda^{i} a_{0}$ vraie.
On sait que $\forall i \in [\![1,n]\!] \;,\; a_{i}-\lambda a_{i-1} \leqslant 0$ ou encore $a_{i}\leqslant \lambda a_{i-1}$ .
Et si $i=n$

alors $a_{n}\leqslant \lambda a_{n-1}$ .
Or, par hypothèse de récurrence, $a_{n-1}\leqslant \lambda^{n-1} a_{0}$ . Donc $a_{n}\leqslant \lambda \lambda^{n-1} a_{0}$ , c'est-à dire $a_{n}\leqslant \lambda^{n} a_{0}$ .
La propriété $P(i)$

est vérifiée pour $i=n$

.

Je change un peu mes notations... Est ce que ce coup ci c'est Ok ? (merci pour la réponse)

Soit $\lambda \in [0;+\infty [/ \{1\}\;,\; n \in \mathbb{N}^{\ast}$ et $a_{0},a_{1},\ldots , a_{p} \in \mathbb{R}$ tels que $\forall n \in [\![1,p]\!] \;,\; a_{n}-\lambda a_{n-1} \leqslant 0$ .
Montrer que : $\forall n \in [\![1,p]\!] \;,\;\mathcal{P}(n): a_{n}\leqslant \lambda^{n} a_{0}$ .

- Si $n=1$

alors $a_{1}-\lambda a_{0}\leqslant0$ ou encore $a_{1}\leqslant \lambda^{1} a_{0}$ . La propriété est vraie pour $n=1$

.

- Supposons que $\forall n \in [\![1,p-1]\!] \;,\; \mathcal{P}(n): a_{n}\leqslant \lambda^{n} a_{0}$ vraie.
Comme $\forall n \in [\![1,p]\!] \;,\; a_{n}\leqslant \lambda a_{n-1}$ .
Alors : $a_{n+1}\leqslant \lambda a_{n}$ .
D'où : $a_{n+1}\leqslant \lambda.\lambda^{n-1} a_{0}$ (hypothèse de récurrence)
c'est-à dire : $a_{n+1}\leqslant \lambda^{n+1} a_{0}$ . On a bien $\mathcal{P}(n+1)$ .

par **balf** » Lundi 05 Mars 2012, 20:22

Non : vous ne montrez P(n) implique P(n + 1) que pour n = p — 1. Il faut le montrer pour un n quelconque < p.

B.A.

par **zariski63** » Lundi 05 Mars 2012, 22:11

pfiouuuuu que je galère !!!

par **zariski63** » Mercredi 07 Mars 2012, 22:57

Nouvelle mouture !!! Est ce correct ? Merci !

- Si $n=1$

alors $a_{1}-\lambda a_{0}\leqslant0$ ou encore $a_{1}\leqslant \lambda^{1} a_{0}$ . La propriété est vraie pour $n=1$

.

- Supposons que $\forall n \in [\![1,p-1]\!] \;,\; \mathcal{P}(n): a_{n}\leqslant \lambda^{n} a_{0}$ vraie.

Comme $\forall n \in [\![1,p]\!] \;,\; a_{n}\leqslant \lambda a_{n-1}$ .

Alors : $\forall n \in [\![0,p-1]\!] \;,\; a_{n+1}\leqslant \lambda a_{n}$ .

D'où : $\forall n \in [\![0,p-1]\!] \;,\; a_{n+1}\leqslant \lambda.\lambda^{n} a_{0}$ (hypothèse de récurrence)

c'est-à dire : $\forall n \in [\![0,p-1]\!] \;,\; a_{n+1}\leqslant \lambda^{n+1} a_{0}$ . On a bien $\mathcal{P}(n+1)$ .

par **balf** » Jeudi 08 Mars 2012, 00:27

Ce qui ne va pas, c'est le quantificateur : il faut mettre

Supposons que pour un entier n quelconque entre 1 et p — 1, on ait ...
Alors, pour l'entier n + 1, ...

L'erreur vient peut-être de ce que la formulation habituelle du théorème de récurrence est : $\forall n\in[1,p-1], P(n)\Rightarrow P(n+1)$ , il y a ce quantificateur universel. Dans ma formulation en français, il est inclus dans le "quelconque".

B.A.

par **rebouxo** » Jeudi 08 Mars 2012, 11:34

balf a écrit:Ce qui ne va pas, c'est le quantificateur : il faut mettre

Supposons que pour un entier n quelconque entre 1 et p — 1, on ait ...
Alors, pour l'entier n + 1, ...

L'erreur vient peut-être de ce que la formulation habituelle du théorème de récurrence est : $\forall n\in[1,p-1], P(n)\Rightarrow P(n+1)$ , il y a ce quantificateur universel. Dans ma formulation en français, il est inclus dans le "quelconque".

B.A.

Sur le coup je ne comprends pas trop la différence entre ta phrase et la phrase de zariski63. Une chos est sure, je préferrais l'écrire en français qu'avec les quantificateurs.

Olivier

par **zariski63** » Jeudi 08 Mars 2012, 11:58

Et ce coup ci ??? Car je suis têtu !!!!!!

- Si $n=1$

alors $a_{1}-\lambda a_{0}\leqslant0$ ou encore $a_{1}\leqslant \lambda^{1} a_{0}$ . La propriété est vraie pour $n=1$

.

-Supposons avoir montré que $\left\{\begin{array}{l} a_{1}\leqslant \lambda^{1} a_{0}\\ a_{2}\leqslant \lambda^{2} a_{0}\\ \ldots \\ a_{n-1}\leqslant \lambda^{n-1} a_{0}\\ \end{array} \right.$ pour un certain entier $n \in [\![1,p]\!]$ .

Il faut montrer que $a_{n}\leqslant \lambda^{n} a_{0}$ .

Comme $\forall n \in [\![1,p]\!] \;,\; a_{n}\leqslant \lambda a_{n-1}$ .

Alors $\forall n \in [\![0,p]\!] \;,\; a_{n}\leqslant \lambda.\lambda^{n-1} a_{0}$ (hypothèse de récurrence)

c'est-à dire : $\forall n \in [\![0,p]\!] \;,\; a_{n}\leqslant \lambda^{n} a_{0}$ .

par **kojak** » Jeudi 08 Mars 2012, 14:08

Bonjour,

Je vais mettre mon grain de sel, mais, pour moi, il est inutile de supposer ceci :

zariski63 a écrit:-Supposons avoir montré que $\left\{\begin{array}{l} a_{1}\leqslant \lambda^{1} a_{0}\\ a_{2}\leqslant \lambda^{2} a_{0}\\ \ldots \\ a_{n-1}\leqslant \lambda^{n-1} a_{0}\\ \end{array} \right.$ pour un certain entier $n \in [\![1,p]\!]$ .

Je ferais :

Initialisation : $a_1-\lambda a_0\leq 0 \iff a_1\leq \lambda^1 a_0$ : donc OK.

Supposons la propriété vraie au rang $n_0,\quad (n_0 <p)$ cad $a_{n_0}\leq \lambda^{n_0} a_0$ .

On a immédiatement $a_{n_0+1}\leq \lambda a_{n_0}\leq \lambda \lambda^{n_0} a_0=\lambda^{n_0+1} a_0$ : donc hérédité OK.

Grâce au principe de récurrence, blablabla, et c'est fini

Sinon, ce qui me gène dans ta rédaction c'est ce $\forall n$

par **balf** » Jeudi 08 Mars 2012, 15:17

@rebouxo : la différence entre ce que j'ai écrit et ce qu'a écrit zariski63, c'est qu'avec son utilisation du quantificateur, il écrit en fait
supposons que $\forall n, P(n)$
ce qui revient à supposer la propriété démontrée, au lieu de dire
montrons que $\forall n, P(n)\Rightarrow P(n+1)$ .

B.A.

par **rebouxo** » Jeudi 08 Mars 2012, 17:43

balf a écrit:@rebouxo : la différence entre ce que j'ai écrit et ce qu'a écrit zariski63, c'est qu'avec son utilisation du quantificateur, il écrit en fait
supposons que $\forall n, P(n)$
ce qui revient à supposer la propriété démontrée, au lieu de dire
montrons que $\forall n, P(n)\Rightarrow P(n+1)$ .

B.A.

OK. Donc ce n'est pas vraiment dans le quantificateur, mais dans le fait que la propriété de récurrence était incomplète, non ?

Olivier

par **zariski63** » Jeudi 08 Mars 2012, 19:41

euhhh ... sinon c'est mieux ???

par **balf** » Jeudi 08 Mars 2012, 20:26

Oui !!! Cette fois-ci, c'est juste mais avec des hypothèses de récurrence inutiles : il suffit de supposer que pour un n, on ait $a_{n-1}\leqslant \lambda^{n-1} a_0$ . Les autres hypothèses ne servent pas.

B.A.

par **kojak** » Jeudi 08 Mars 2012, 21:28

zariski63 a écrit:euhhh ... sinon c'est mieux ???

Non, car tu as ce foutu $\forall n,$ etc comme je te l'ai dit , ainsi que balf.

De même, ceci :

balf a écrit:avec des hypothèses de récurrence inutiles : il suffit de supposer que pour un n, on ait $a_{n-1}\leqslant \lambda^{n-1} a_0$ . Les autres hypothèses ne servent pas.

que je t'ai aussi signalé.

par **zariski63** » Jeudi 08 Mars 2012, 22:26

Comme ceci alors !
Grrrr... suis long mais quand j'ai compris ....

- Si $n=1$

alors $a_{1}-\lambda a_{0}\leqslant0$ ou encore $a_{1}\leqslant \lambda^{1} a_{0}$ . La propriété est vraie pour $n=1$

.

- Supposons avoir montré que $a_{n-1}\leqslant \lambda^{n-1} a_{0}$ pour un certain entier $n \in [\![1,p]\!]$ .

Il faut montrer que $a_{n}\leqslant \lambda^{n} a_{0}$ .

Comme $a_{n}\leqslant \lambda a_{n-1}$ .

Alors $a_{n}\leqslant \lambda.\lambda^{n-1} a_{0}$ (hypothèse de récurrence)

c'est-à dire : $a_{n}\leqslant \lambda^{n} a_{0}$ .

par **balf** » Vendredi 09 Mars 2012, 00:26

Voui (mais desserrez la mâchoire, de grâce).

B.A.

par **zariski63** » Vendredi 09 Mars 2012, 08:38

Je vous remercie pour l'intérêt que vous avez bien voulu porter à ma demande !
A la prochaine, en espérant être un peu moins "bouché" !
Bonne journée

par **kojak** » Vendredi 09 Mars 2012, 08:42

zariski63 a écrit: - Supposons avoir montré que $a_{n-1}\leqslant \lambda^{n-1} a_{0}$ pour un certain entier $n \in [\![1,p]\!]$ .

Ceci me gêne. Ce n'est pas supposons avoir montré que... car tu n'as rien montré, mais : Supposons la propriété vraie au rang etc.

C'est pour ceci que je préfère forcer mes étudiants à écrire

kojak a écrit:Supposons la propriété vraie au rang $n_0,\quad (n_0 <p)$ cad $a_{n_0}\leq \lambda^{n_0} a_0$ .

car, avec cet indice, l'entier $n_0$

est fixé.

par **zariski63** » Vendredi 09 Mars 2012, 08:51

kojak a écrit:
zariski63 a écrit: - Supposons avoir montré que $a_{n-1}\leqslant \lambda^{n-1} a_{0}$ pour un certain entier $n \in [\![1,p]\!]$ .

Ceci me gêne. Ce n'est pas supposons avoir montré que... car tu n'as rien montré, mais : Supposons la propriété vraie au rang etc.

C'est pour ceci que je préfère forcer mes étudiants à écrire
kojak a écrit:Supposons la propriété vraie au rang $n_0,\quad (n_0 <p)$ cad $a_{n_0}\leq \lambda^{n_0} a_0$ .
car, avec cet indice, l'entier est fixé.

Et que donnerait la suite svp ?

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