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par **paspythagore** » Lundi 03 Septembre 2012, 19:01

Bonjour,

je ne comprends la démonstration de cette inégalité que me propose le cours :

Comme pour tout réél $\lambda$ ,
$\sum_j=1^N(a_j+\lambda b_j)^2\geq0$

Je ne connais pas cette inégalité et je ne comprends pas ce qu'elle signifie.

on a, pour tout réél $\lambda$ ,
$\ds\sum^N_{j=1}a^2_j+2\lambda\ds\sum^N_{j=1}a_jb_j^2+\lambda^2\ds\sum^N_{j=1}b_j^2\geq0$

Pourquoi ?

Le discriminant du pôlynôme en $\lambda$ ci-dessus est donc négatif d'où :
$\ds\sum^N_{j=1}a_jb_j\leq\left(\ds\sum^N_{j=1}a_j^2\right)^{1/2}\left(\ds\sum^N_{j=1}b_j^2\right)^{1/2}$

En identifiant à $b^2-4ac<0$

, je trouve :

$4\left(\ds\sum^N_{j=1}a_jb_j^2\right)^2<4\ds\sum^N_{j=1}a_j^2\ds\sum^N_{j=1}b_j^2$

$\ds\sum^N_{j=1}a_jb_j^2<\left(\ds\sum^N_{j=1}a_j^2\right)^{1/2}\left(\ds\sum^N_{j=1}b_j^2\right)^{1/2}$

Ce qui n'est pas tout à fait le résultat recherché.

Merci de votre aide.

, et ça se ramène qu fait qu'une somme de carrés (de nombres réels) est supérieure ou égale à 0.

Pour la deuxième question, le membre de gauche est le développement de $\sum_{j=1}^n (a_j+\lambda b_j)^2$ , considéré comme un trinôme du second degré en $\lambda$ .

Enfin, il y a une erreur dans le développement du discriminant : à gauche, il y a $(\left\sum_{j=1}^n a_jb_j\right)^2$ et non $(\left\sum_{j=1}^n a_jb_j^2\right)^2$ .

B.A.

par **balf** » Lundi 03 Septembre 2012, 20:20

Bis repetita placent…

B.A.

par **paspythagore** » Lundi 03 Septembre 2012, 20:26

Merci à tous les deux, donc :

Comme pour tout réel $\lambda$ ,

$\ds\sum_{j=1}^N(a_j+\lambda b_j)^2\geq0$

on a, pour tout réel $\lambda$ ,

$\ds\sum^N_{j=1}a^2_j+2\lambda\ds\sum^N_{j=1}a_j^2b_j^2+\lambda^2\ds\sum^N_{j=1}b_j^2\geq0$

Le discriminant du polynôme en $\lambda$ ci-dessus est donc négatif d'où :

$\ds\sum^N_{j=1}a_jb_j\leq\left(\ds\sum^N_{j=1}a_j^2\right)^{1/2}\left(\ds\sum^N_{j=1}b_j^2\right)^{1/2}$

Cette dernière erreur est pour moi.
En identifiant à $b^2-4ac<0$

, je trouve :

$4\left(\ds\sum^N_{j=1}a_jb_j^2\right)^2<4\ds\sum^N_{j=1}a_j^2\ds\sum^N_{j=1}b_j^2$

$\ds\sum^N_{j=1}a_jb_j<\left(\ds\sum^N_{j=1}a_j^2\right)^{1/2}\left(\ds\sum^N_{j=1}b_j^2\right)^{1/2}$

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Inégalité de Cauchy-Schwarz

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