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par **enigma_tik** » Jeudi 01 Mars 2012, 16:00

Bonjour,

Voilà j'ai l'exercice suivant à faire et je galère un peu,de l'aide serait la bienvenue

voici l'énoncé:

Soit $P(x)$

un polynôme à coefficients réels,de degré $n$

.Montrer que $P$

et ses

derivées forment une base de $R_{n}[x]$

Voici ce que j'ai fait:

Soit $P(x)$

un polynôme à coefficients réels de degré $n$

tel que : $\forall x \in R$ : $P(x)=a_{0}+a_{1}x+......+a_{n}x^{n}$ avec $a_{i} \in R$

On doit montrer que la famille $(P,P',P''..........,P^{n})$ engendre $R_{n}$ [x] et que cette famille est libre.

Soit Q un polynôme de $R_{n}$ [x] tel que : $\forall x \in R$ $Q(x)=b_{0}+b_{1}x+.....+b_{n}x^{n}$

On voit que pour le coefficient du terme de degré 0,on peut trouver parmi la famille constitué de $P$

et de ses

dérivées,un polynôme dont le premier terme $a_{i}$ (avec $a_i$

diffèrent de 0) de degré 0 tel que pour $\lambda_1$ = $\frac {1} {a_i}$ on ait $b_0=b_0*\lambda_{a_i]$ = $b_{0}$

On fait de même pour les autres termes..

En ce qui concerne la liberté de la famille,je le ferais une fois ce premier point éclairci.

voilà qu'en pensez vous?

Merci

Bonsoir,

J'étais rester sur le fait qu'il fallait montrer que la famille engendre $R_{n}$ [x] et ensuite montrer que c'était libre.Mais vu que ma famille est constitué de n+1(=dim $R_{n}$ [x]) vecteurs de $R_{n}$ [x],il suffit juste de montrer que celle-ci est libre et cela nous donne le résultat attendu,c'est bien ça?

Montrons que la famille $(P,P',......,P^{n})$ est libre.

Pour tous réels $\lambda_{0},........,\lambda_{n}$ on a :

$\lambda_{0}P+\lambda_{1}P'........+\lambda_{n}P^n =0 \Longrightarrow \lambda_{0}=0,..................,\lambda_{n}=0$ (*)

La justification de (*) tient au fait que deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux et ici 0 est le polynôme nul(dont tous les coefficients sont nuls).

Qu'en penses tu?

Merci beaucoup

par **balf** » Vendredi 02 Mars 2012, 00:26

C'est très insuffisant. Où intervient le fait qu'il y a n+1 polynômes ? Une indication : ce qui fait tourner la machinerie, c'est les polynômes P, P', P'', ..., ont des degrés strictement décroissants.

B.A.

par **enigma_tik** » Vendredi 02 Mars 2012, 01:21

re,

P, P', P'', ..., ont des degrés strictement décroissants.

Je commence à piger le truc,j'aurais du prendre un polynôme quelconque sur mon brouillon ça m'aurait servi d'intuition

En faites vu qu'ils sont de degrés strictement inférieure à P et bien on ne peut pas avoir de relation d'indépendance entre les vecteurs de notre famille,donc déja cela justifie amplement la liberté.

De plus comme chaque vecteur de notre famille est un vecteur de $R_n$

[x],c'est à dire un polynôme de degré 0 à n, alors on peut trouver pour n'importe quel polynôme Q de $R_n$

[x] où $\forall x \in R$ : $Q(x)=a_{0}+.........+a_{n}x^n$ ,des réels $\lambda_0 ,,,,, \lambda_n$ (choisi au préalable,par exemple pour $a_0$

prendre $\lambda_0 =\frac {a_{0}} {p^{n}$ ) tel que :

Pour tout $x \in R$ :

$Q(x)= \lambda_0 *a_{0}+...........\lambda_n *a_{n}$

Mon raisonnement est-il plus clair?

Merci.

par **balf** » Vendredi 02 Mars 2012, 01:31

Il ne suffit pas qu'ils soient de degré inférieur à celui de P ; il faut se servir du fait que les degrés sont décroissants (strictement), ce qui donne une sorte de système échelonné (à l'envers) pour les coefficients $\lambda_i$ .
Petite remarque : il ne s'agit pas d'une relation d'indépendance (ce qui ne veut rien dire), mais d'une relation de dépendance linéaire.

Ceci dit, la façon la plus rapide de montrer l'indépendance linéaire est de procéder par récurrence sur le degré.

B.A.

par **enigma_tik** » Vendredi 02 Mars 2012, 01:49

re,

D'accord je prends notes de tes remarques.En effet cet exercice c'est avérer on ne peut plus délicat dans le sens ou il fallait exprimer son raisonnement de façon clair et limpide où j'ai parfois du mal,mais bon ça viendra avec le temps

J'essayerais de le faire par récurrence pour la liberté de la famille,ça ne pourra-être que bénéfique.

En ce qui concerne le fait que la famille engendre $R_n$

[x],mon raisonnement:

De plus comme chaque vecteur de notre famille est un vecteur de [x],c'est à dire un polynôme de degré compris entre 0 et n alors on peut trouver pour n'importe quel polynôme Q de [x] où $\forall x \in R$ : $Q(x)=a_{0}+.........+a_{n}x^n$ ,des réels $\lambda_0 ,,,,, \lambda_n$ (choisi au préalable,par exemple pour prendre $\lambda_0 =\frac {a_{0}} {p^{n}$ ) tel que :

Pour tout $x \in R$ :

$Q(x)= \lambda_0 *a_{0}+...........\lambda_n *a_{n}$

Semblait bon,non?

Merci

par **guiguiche** » Vendredi 02 Mars 2012, 09:52

Tu as une famille libre comportant autant d'éléments que la dimension de l'espace vectoriel donc ...
(sauf si tu n'as pas encore parlé de dimension d'espace vectoriel)

par **enigma_tik** » Vendredi 02 Mars 2012, 20:47

Bonsoir,

@ guiguiche:C'est ce que j'avais écrit un peu plus haut dans mon post:

J'étais rester sur le fait qu'il fallait montrer que la famille engendre $R_{n}$ [x] et ensuite montrer que c'était libre.Mais vu que ma famille est constitué de n+1(=dim $R_{n}$ [x]) vecteurs de $R_{n}$ [x],il suffit juste de montrer que celle-ci est libre et cela nous donne le résultat attendu,c'est bien ça?

En faites,j'ai bien compris la méthode, mais maintenant je cherche une façon de démontrer que la famille $(P,P',.....,P^{n})$ engendre $R_{n}$ [x] sans passé par le fait qu'elle est libre et qu'elle est contient n+1 vecteurs de $R_{n}$ [x].Il s'agit la plus d'une question personnelle.

Merci

par **kojak** » Vendredi 02 Mars 2012, 21:02

Bonjour,

enigma_tik a écrit:mais maintenant je cherche une façon de démontrer que la famille $(P,P',.....,P^{n})$ engendre $R_{n}$ [x]

Et bien, tu reviens à la définition d'une famille génératrice.

Soit $Q$

un polynôme de $\R_n[X]$ , etc.

par **enigma_tik** » Vendredi 02 Mars 2012, 22:51

Bonsoir,

Bon je vais essayer de la faire ces prochains jours et je reviendrais si j'ai des questions.

Je vous remercie tous de l'aide précieuse que vous m'avez apporté

Bon week-end

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