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Congruences

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Congruences

Messagepar paspythagore » Dimanche 08 Avril 2012, 09:23

Bonjour,

j'ai un exercice corrigé sur les congruences, il y a une partie que je ne comprends pas.

On vient de démontrer que si $m\in\N$ est pair $3^{m/2}+1=2^d$ $d\in\N$

On déduit de cela que si : $3^{m/2}+1=2^d$ alors $2^d-2=2^\beta$, $\beta\in\N$


Je ne comprends pas pourquoi.

Merci de votre aide.
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Re: exercice sur les congruences

Messagepar balf » Mercredi 11 Avril 2012, 14:46

Moi non plus, parce que la première assertion (on vient de démontrer...), déjà, est fausse : si m est pair, m/2 est n'importe quel entier et 3^k = 2^d est faux pour k=2,3, 4. Il doit donc y avoir quelque chose d'autre dans l'énoncé qui fait que ça devienne vrai.

B.A.
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Re: exercice sur les congruences

Messagepar paspythagore » Mercredi 11 Avril 2012, 17:03

Bonjour.

Oui, je m'excuse, il est indiqué de raisonner modulo $4$.
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Re: exercice sur les congruences

Messagepar balf » Mercredi 11 Avril 2012, 19:51

Oui, mais alors quel est l'énoncé exact ?

B.A.
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Re: exercice sur les congruences

Messagepar paspythagore » Mercredi 11 Avril 2012, 20:56

Oui comme je n'ai pas compris. Je ne sais pas ce que je n'ai pas compris.

Ennoncé
Résolution de $3^m-2^n=1$
En raisonnant modulo $4$, montrer que $m$ est pair ou vaut $1$.
Montrer que si $m\neq1, 3^{m/2}-1$ et $3^{m/2}+1$ sont des puissances de $2$.
trouver les solutions de $3^m-2^n=1$


Correction
On a $3^m-2^n=1$
Si $n=1$, $m=1$. Si non $n\geq2$ et on a modulo $4$, $3^m\equiv(-1)^m\equiv1$. Par suite $m$ est pair.
Si $m$ est pair $(3^{m/2}+1)(3^{m/2}-1)=2^n$ par suite $3^{m/2}+1$ et $3^{m/2}-1$ sont des diviseurs positifs de $2^n$, ils sont des puissances de $2$.
Si $3^{m/2}+1=2^d$, on a $2^d-2=2^\beta$, $2=2^d-2^\beta=2^\beta(2^{\alpha-\beta}-1)$ et donc $\beta=1$ et $\alpha=2$, c'est à dire $3^{m/2}+1=4$ et donc $m=2$ et $n=3$.
Les solutions sont donc $(m,n)=(1,1)$ ou $(m,n)=(2,3)$.


Je ne comprends par d'ailleurs, ce qui permet d'affirmer $3^m\equiv(-1)^m\equiv1$.

$3^m-1=2^n\equiv0\;\mod 4$ mais après...
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Re: exercice sur les congruences

Messagepar OG » Mercredi 11 Avril 2012, 22:05

Peut-être que $3\equiv -1 \ [4]$ ?
Si $n\geq 2$ alors $2^n \equiv 0 \ [4]$ ce qui donne (sous l'hypothèse $m,n$ solution de l'équation)
$3^m \equiv 1\ [4]$.

O.G.
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Re: exercice sur les congruences

Messagepar paspythagore » Mercredi 11 Avril 2012, 22:19

Merci.

OK pour cette partie.
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Re: exercice sur les congruences

Messagepar paspythagore » Samedi 14 Avril 2012, 11:59

Bonjour,

je ne comprends toujours pas cette partie.

On vient de démontrer que si $m\in\N$ est pair $3^{m/2}+1=2^d$ $d\in\N$

On déduit de cela que si : $3^{m/2}+1=2^d$ alors $2^d-2=2^\beta$, $\beta\in\N$
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Re: exercice sur les congruences

Messagepar balf » Samedi 14 Avril 2012, 16:52

C'est qu'alors 2$^d$ – 2 = 3$^{m/2}$ – 1, l'autre diviseur positif de 2$^n$.

B.A.
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Re: exercice sur les congruences

Messagepar paspythagore » Dimanche 15 Avril 2012, 17:27

Merci.

Je crois que j'ai compris.
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